Números Reales: ¿Qué son? Tipos, Conjuntos y ejemplos

El conjunto de los Números reales  está formado por varios grupos o sub conjuntos así que comenzaremos dando algunos sub conjuntos de números con los cuales ya estamos familiarizados, siendo los siguientes: Números Naturales (Representados por la letra “N”) , Números enteros (Representados por la letra “Z”), Números Racionales (Representados por la letra “Q”) y los Números Irracionales (Representados por la letra “Q ^C”). 

Introducción

Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.

Conjunto de los Números Naturales:

Los números naturales que se representan con la letra “N” es el primer grupo de números con los interactuamos y está formado por todos los números positivos o dicho de otra forma todos los números a la derecha del cero, expresando este grupo en forma de conjunto su representación seria la siguiente: 

N= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9…)   

 

Conjunto de los Números Enteros: 

Se puede definir a este grupo de números como la unión de los números negativos con los números positivos, dicho en otras palabras; en este grupo se incluyen todos los números que están a la izquierda y derecha del cero,  se representa con la letra “Z”, expresando este grupo en forma de conjunto su representación seria la siguiente: 

Z= (…-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …)

 

Este grupo de números lo podemos dividir a su vez en otros cuatro pequeños grupos de número, o me mejor dicho se puede realizar un análisis más extenso de este grupo dividiéndolo en cuatro partes siendo las siguientes: 

Z⁺ = (1, 2, 3, 4…) ------------------------------------------ ENTEROS POSITIVOS                              

Z^- = (…-3, -2, -1) ------------------------------------------ ENTEROS NEGATIVOS

Z₀⁺ = Z⁺ U {0} (0, 1, 2, 3, 4…) -------------------------- ENTEROS NO NEGATIVOS 

Z₀^- = Z^- U {0} (…-3, -2, -1, 0) ---------------------------- ENTEROS NO POSITIVOS 

Conjunto de los Números Racionales:  

Son todos los números que se pueden expresar de la forma a/b (fracción) donde a y b son números enteros y b ≠ 0 (distinto de cero), simbólicamente se representa por la letra “Q”, expresando este grupo en forma de conjunto su representación seria la siguiente: 

Q = {x/x = a/b ; a, b, Є Z y b ≠ 0 }   

Algunos ejemplos serían los siguientes:  5/4, 7/6, 8/1 … 

Los números racionales se pueden expresar en forma decimal periódica; la cual puede ser exacta (con periodo de cero), o periódica (pura o mixta) 

Por ejemplo 1/2 = 0.500...   ;2/3 = 0.66...   ;13/12= 1.0833... 

 

Conjunto de los Números Irracionales: 

Los números decimales  periódicos no es la única forma en que se puede expresar un número, para el caso podemos tener números con infinitas cifras decimales no periódicos tales como: 

0.101001000100101010101….,   -1.060943791…,  0.3678794… 

Otros ejemplos:

√2, √7, -√12, ⁵√-6, -3+√5  

Para saber si un número es irracional tenemos que desarrollarlo, si el resultado final es un numero decimal con infinitas cifras decimales no periódicas si tenemos un numero irracional de lo contrario será un número racional. 

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Los siguientes ejercicios tienen como finalidad poder fortalecer tus conocimientos, aunque en este artículo se proyecta la forma de resolver dichos ejercicios se recomienda hacerlo por tu cuenta y después verificar las respuestas. 

Determinar a qué conjunto pertenece cada enunciado: 

  A    El número 2 pertenece a:_________________________ 

  B    El numero√4 pertenece a:_________________________ 

  C    El número -5 pertenece a:_________________________ 

  D   El número -2/3 pertenece a:________________________ 

  E    El numero π pertenece a:__________________________ 

 

Tipo verdadero o Falso: 

•   Escriba sobre la línea si el enunciado es verdadero o es falso si es falso justifique su respuesta: 

2. A)6 Є Z =____________   B)5 Є Q =_______________ C)1 Є N =____________________ 

1. D)6… Є Q = ____________ E)4/2 Є Q^C= __________ F) -78.500… Є Q^C= ____________ 

  

Respuestas a las incógnitas: 

Determinar a qué conjunto pertenece cada enunciado: 

A= El numero 2 como cualquier número positivo pertenece a los números naturales, enteros y racionales.

B = Cuando desarrollamos el número  obtenemos que su raíz cuadrada o resultado final es el numero 2 por lo tanto pertenece a los números naturales, enteros y racionales. 

C= Como es un número negativo podemos afirmar que pertenece a los números enteros y los números racionales. 

D= Cuando desarrollamos este número en su forma decimal obtenemos el siguiente resultado 0.666…, obtenemos un numero decimal periódico por lo tanto pertenece a los números racionales. 

E= Recordemos que el número π se puede representar de forma decimal como el siguiente resultado  3.14159265358979323846, en base a esto podemos afirmar que es un numero irracional ya que su forma decimal no es un resultado periódico decimal. 

 

Tipo verdadero o Falso:

A= Verdadero 

B = verdadero 

C= Verdadero 

D= Verdadero 

E= Falso ya que su desarrollo quedo en el número 2. 

F= Falso es un decimal de forma periódica por lo tanto es un numero racional.  

 

Los números enteros y naturales son números racionales (N^⊂Z^⊂Q), y los números Irracionales son el complemento de los números Racionales, (Q^C={x/x ∉ Q})  

El número 0 no pertenece ni al conjunto de los enteros positivos ni al conjunto de los enteros negativos así que podremos afirmar lo siguiente: Z = Z⁺ U  Z^- U {0} = Z₀⁺ U Z₀^- 

Si un número es entero también es racional, o dicho de otra forma todo número entero es racional, simbólicamente lo escribimos de la siguiente manera: N^⊂Z^⊂Q 

Un número irracional es aquel número real que no es racional. Dicho en otras palabras es el complemento de los números racionales, escrito en notación de conjunto tenemos lo siguiente: Q^C={x/x ∉ Q} 

En general el conjunto de los números reales es la unión de los números racionales con los números irracionales, en donde un número, si es racional no podrá ser irracional y viceversa.  

El número real 0 no es negativo ni positivo.